Главное меню:
Число -одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения.
Когда-то численность множества не отделялась от других его качеств, и для того, чтобы сравнить два множества, их элементы располагали друг против друга. Но потом оказалось. что удобнее сравнивать все множества с одним и тем же множеством- посредником. Так как пальцы были всегда при себе, то стали считать по пальцам. Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их (Цифры). При этом вавилоняне уже пользовались, по сути дела, позннионным принципом в обозначении чисел один и тот же знак обозначал у них и 1, и 60, и 3600 (их система счисления была шсстидесятеричной). Не знали они только знака для нуля - это замечательное изобретение сделали индийские математики в VI в.
Для практических нужд требовалось не только уметь обозначать числа, но и выполнять с ними арифметические действия. Вавилоняне, чтобы справиться с трудностями своей шсстидесятеричной системы счисления, применяли таблицы произведений, квадратов, кубов и т.д. А древние греки и римляне считали с помощью абака.
В III в. до н.э. Архимед разработал систему обозначения чисел...Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения двух таких чисел, т.е. дроби. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата не соизмерима с его стороной. Отсюда следовало. что натуральных чисел и дробей недостаточно для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1.
Так как в то время не знали чисел, отличных от натуральных и дробей, возникли две науки, которые развивались параллельно, но имели различные объекты изучения: арифметика -наука о числах и геометрия, в которой, в частности, рассматривалось учение о величинах - длинах, площадях, объёмах.
Древнегреческие ученые умели складывать и вычитать величины, находить их кратные и доли, а над их отношениями умели выполнять операции умножения, деления, возведения в степень. Однако, поскольку не существовало общей идеи числа, все эти операции невозможно было объединить в единую систему, в арифметику действительных чисел.
С развитием алгебры, уже при решении линейных уравнений с одним неизвестным, возникает необходимость в отрицательных числах. В XV в. самаркандский ученый ал-Каши ввел десятичные дроби. Это нововведение оставалось неизвестным европейским математикам, и лишь в 1584 г. нидерландский математик и инженер С. Стевин вновь пришел к этому открытию. Числа целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел.
Следующими важными этапами в развитии понятия числа были открытие комплексных чисел и формальное построение теории действительных чисел на основе понятия натурального числа.
Изучение понятия числа шло не только путем обобщения, но и путем выделения из общего понятия числа важных частных случаев. Например. в множестве R действительных чисел были выделены рациональные и иррациональные числа, т.е. числа, которые соответственно можно записать в виде дроби p/q и которые нельзя записать в таком виде.
Все числа, не являющиеся алгебраическими, называют трансцендентными. Очевидно, что все трансцендентные числа иррациональны. Существуют числа, для которых вопрос об их трансцендентности не выяснен до сих пор.