Задача Эйлера - математика и искусство

Перейти к контенту

Главное меню:

Задача Эйлера

Математика > Задачи великих людей


Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая. Обе выручили за яйца одинаковые суммы денег.

Первая сказала второй: «Будь у меня твои яйца, я бы выручила 15 крейцеров».

Вторая ответила: «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6 и 2/3 крейцера».

Сколько яиц было у каждой крестьянки?



Решение.

Пусть у первой крестьянки будет х яиц, тогда у второй – (100 – х).
Если бы первая имела (100 – х) яиц, она бы выручила 15 крейцеров. Значит она продавала яйца по цене 15/(100 – х) за штуку.
Вторая крестьянка продавала яйца по цене 6 2/3 : х = 20/(3х) за штуку.


Найдём действительную выручку за яйца, проданные первой и второй крестьянками:
1:   х15/(100 – х) = 15х/(100 – х),
2:  (100 – х)20/(100 – х)/3х.
Так как их выручки равны, то
15х/(100 – х) = 20(100 – х)/3х.

После выполнения преобразований получим
х2 + 160х – 8000 = 0
Далее решаем квадратное уравнение, откуда х1= 40, х2 = -200
Отрицательный корень не имеет смысла; у задачи – только одно решение: первая кре­стьянка принесла 40 яиц и, значит, вторая 60.

Задача может быть решена другим способом.

Пусть вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. За продажу они получили одинаковые суммы денег, значит первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая.

Если бы первая крестьянка продавала яйца второй, у неё было бы яиц в k раз больше и продавала бы их в k раз дороже. Значит, выручка бы у неё была в k
² больше, чем у второй.

Исходя их этого, получим:
k² = 15 : 6 2/3 = 45/20 = 9/4
k = 3/2
. Теперь мы видим что яиц у крестьянок было в отношении 3 : 2.

Ответ: Первая крестьянка продала 40 яиц, а вторая 60.

 
Copyright 2016. All rights reserved.
Назад к содержимому | Назад к главному меню