График функции - математика и искусство

Перейти к контенту

Главное меню:

График функции

Другие разделы > Математический анализ

График функции - один из способов ее представления. Представить ту или иную функцию можно по-разному, например словесным описанием. Из физики известно, что при равномерном движении пройденный путь прямо пропорционален времени, прошедшему с момента начала пути. Эта фраза описывает путь как линейную функцию времени.

В руках у электрика можно увидеть таблицу, где для проводов различных диаметров указаны предельно допустимые значения силы тока, на парте школьника-таблицы логарифмов и тригонометрических функций... Все это примеры табличного представления функций. В выкладках и расчетах функции обычно задают с помощью формул.


У каждого способа представления функции есть свои достоинства. Словесный наиболее прост и доходчив, если, конечно, функцию удается описать простыми фразами. Формулы часто используют потому, что с ними удобно проводить вычисления, их можно преобразовывать и анализировать, выясняя свойства функции.


Графический способ представления функции - самый наглядный. График функции - это линия, дающая цельное представление о характере изменения функции по мере изменения ее аргумента. Кардиограмму можно
назвать графиком работы сердца.

Чтобы построить эскиз графика функции предварительно проводят ее исследование. Оно ведется поэтапно следующим путем.

  • Область определения

  • Область значений (легче находится после исследования монотонности), ограниченность сверху/снизу.

  • Нули (корни) функции — точки, где она обращается в ноль.

  • Промежутки постоянства знаков, знаки в них.

  • Чётность/нечётность, периодичность.

  • Непрерывность

  • Если есть — точки разрыва, их типы; вертикальные асимптоты.

  • Первая производная, её нули (критические точки) или точки излома, если есть.

  • Экстремумы: максимумы и минимумы.

  • Промежутки монотонности

  • Вторая производная, её нули.

  • Точки перегиба, промежутки выпуклости.

  • Поведение на бесконечности, горизонтальные или наклонные асимптоты.

Преобразования графика  функции
y = f(x - b)
,     параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц   вправо, если b > 0;   влево, если b < 0.
y = f(x + b)
                                                                                                                влево, если b > 0;  вправо, если b < 0.
y = f(x) + m
   параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц  вверх, если m > 0, вниз, если m < 0.

Отражение графика
y = f( - x)
 симметричное отражение графика относительно оси ординат.
y = - f(x)
  симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.

Сжатие и растяжение графика
y = f(kx)
 

  • при k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз,           

  • при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз.

y = kf(x)   

  • при k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз,

  • при 0 < k < 1 — cжатие графика к оси абсцисс в k раз.


Преобразования графика с модулем
y = |f(x)|
       

  • при f(x) > 0 — график остаётся без изменений,

  • при f(x) < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.

y = f(| x |)        

  • при x > 0 — график остаётся без изменений,

  • при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат.


 
Copyright 2016. All rights reserved.
Назад к содержимому | Назад к главному меню