Главное меню:
График функции - один из способов ее представления. Представить ту или иную функцию можно по-разному, например словесным описанием. Из физики известно, что при равномерном движении пройденный путь прямо пропорционален времени, прошедшему с момента начала пути. Эта фраза описывает путь как линейную функцию времени.
В руках у электрика можно увидеть таблицу, где для проводов различных диаметров указаны предельно допустимые значения силы тока, на парте школьника-таблицы логарифмов и тригонометрических функций... Все это примеры табличного представления функций. В выкладках и расчетах функции обычно задают с помощью формул.
У каждого способа представления функции есть свои достоинства. Словесный наиболее прост и доходчив, если, конечно, функцию удается описать простыми фразами. Формулы часто используют потому, что с ними удобно проводить вычисления, их можно преобразовывать и анализировать, выясняя свойства функции.
Графический способ представления функции - самый наглядный. График функции - это линия, дающая цельное представление о характере изменения функции по мере изменения ее аргумента. Кардиограмму можно назвать графиком работы сердца.
Чтобы построить эскиз графика функции предварительно проводят ее исследование. Оно ведется поэтапно следующим путем.
Область определения
Область значений (легче находится после исследования монотонности), ограниченность сверху/снизу.
Нули (корни) функции — точки, где она обращается в ноль.
Промежутки постоянства знаков, знаки в них.
Чётность/нечётность, периодичность.
Непрерывность
Если есть — точки разрыва, их типы; вертикальные асимптоты.
Первая производная, её нули (критические точки) или точки излома, если есть.
Экстремумы: максимумы и минимумы.
Промежутки монотонности
Вторая производная, её нули.
Точки перегиба, промежутки выпуклости.
Поведение на бесконечности, горизонтальные или наклонные асимптоты.
Преобразования графика функции
y = f(x - b), параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц вправо, если b > 0; влево, если b < 0.
y = f(x + b) влево, если b > 0; вправо, если b < 0.
y = f(x) + m параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц вверх, если m > 0, вниз, если m < 0.
Отражение графика
y = f( - x) симметричное отражение графика относительно оси ординат.
y = - f(x) симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.
Сжатие и растяжение графика
y = f(kx)
при k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз,
при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз.
y = kf(x)
при k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз,
при 0 < k < 1 — cжатие графика к оси абсцисс в k раз.
Преобразования графика с модулем
y = |f(x)|
при f(x) > 0 — график остаётся без изменений,
при f(x) < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.
y = f(| x |)
при x > 0 — график остаётся без изменений,
при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат.