Задачи Наполеона - математика и искусство

Перейти к контенту

Главное меню:

Задачи Наполеона

Математика > Задачи великих людей

Французский император Наполеон Бонапарт был любителем  математики. Он находил время заниматься ею для собственного удовольствия, чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности. Одно из  свидетельств тому - несколько  составленных им геометрических задач.

Вот как можно сформулировать одну из них:
На сторонах произвольного  треугольника АВС внешним образом построены как на основаниях  равносторонние треугольники (рис. 1). Доказать, что центры этих  треугольников также являются вершинами равностороннего треугольника.
Задача имеет довольно изящное решение.

Данную окружность разделюсь на четыре равные части, не прибегая к линейке. Положение центра окружности дано.

Ограничение: запрещается пользоваться линейкой, а все построения нужно выполнить только циркулем.


Решение

Пусть требуется разделить на четыре части окружность О. От произвольной точки А откладываем по окружности три раза радиус круга: получаем точки В, С и D. Легко видеть, что расстояние АС - хорда дуги, составляющей 1/2 окружности, - сторона вписанного равностороннего треугольника и, следовательно, равно r√3, где r - радиус окружности. AD, очевидно, - диаметр окружности. Из точек А и D радиусом, равным АС, засекаем дуги, пересекающиеся в точке М. Покажем, что расстояние МО равно стороне квадрата, вписанного в нашу окружность.


В треугольнике АМО катет МО = √(АМ²- АО²) = √(3r²-  r²) = r√2 , т. е. стороне вписанного квадрата. Теперь остается только раствором циркуля, равным МО, отложить на окружности последовательно четыре точки, чтобы получить вершины вписанного квадрата, которые, очевидно, разделят окружность на четыре равные части.  

Без линейки увеличить расстояние между данными точками А и В в пять раз ( вообще в заданное число раз).

Решение

Из точки В радиусом АВ описываем окружность. По этой окружности откладываем от точки А расстояние АВ три раза: получаем точку С, очевидно, диаметрально противоположную А. Расстояние А С представляет собой двойное расстояние АВ. Проведя окружность из С радиусом ВС, мы можем таким же образом найти точку, диаметрально противоположную В и, следовательно, удаленную от А на тройное расстояние АВ, и т. д.


 
Copyright 2016. All rights reserved.
Назад к содержимому | Назад к главному меню