Главное меню:
Хорды AB и CD окружности радиуса R перпендикулярны и делятся точкой пересечения на отрезки a, b, c, d. Докажите, что сумма квадратов этих отрезков есть величина постоянная для данной окружности, равная квадрату ее диаметра, т.е. a² + b² + c² + d² = 4R² .
Пусть a, b, c, d — данные отрезки хорд AB и CD. Пусть AD = x, CB = y. Тогда по теореме Пифагора для треугольника AED: x² = a² + d² . (1)
А по теореме Пифагора для треугольника BEC: y² = b² + c² . (2)
Проведем AK // CD. Тогда BK = 2R — диаметр (так как KAB = 90°).
CKAD — равнобокая трапеция, поскольку только равнобокую можно вписать в окружность, и CK = AD = x. KCB = 90° (опирается на диаметр). Тогда по теореме Пифагора для треугольника KCB имеем: x² + y² = 4R² .
Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получаем требуемое: a² + b² + c² + d² = 4R² .
(этот способ самого Архимеда, есть другие 6 способов)