Задача Архимеда - математика и искусство

Перейти к контенту

Главное меню:

Задача Архимеда

Математика > Задачи великих людей

Хорды AB и CD окружности радиуса R перпендикулярны и делятся точкой пересечения на отрезки a, b, c, d. Докажите, что сумма квадратов этих отрезков есть величина постоянная для данной окружности, равная квадрату ее диаметра, т.е. a²  + b²  + c²  + d²  = 4R² .


Пусть a, b, c, d — данные отрезки хорд AB и CD. Пусть AD = x, CB = y. Тогда по теореме Пифагора для треугольника AED: x² = a² + d² . (1)

А по теореме Пифагора для треугольника BEC:
y² = b² + c² . (2)
Проведем AK
// CD. Тогда BK = 2R — диаметр (так как  KAB = 90°).

CKAD  — равнобокая трапеция, поскольку только равнобокую можно вписать в окружность, и CK = AD = x.  KCB = 90° (опирается на диаметр). Тогда по теореме Пифагора для треугольника KCB имеем:
 x² + y² = 4R² .

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получаем требуемое:
 a² + b² + c² + d² = 4R² .
(этот способ самого Архимеда, есть другие 6 способов)

 
Copyright 2016. All rights reserved.
Назад к содержимому | Назад к главному меню