Задача Ньютона - математика и искусство

Перейти к контенту

Главное меню:

Задача Ньютона

Математика > Задачи великих людей

Задача придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.

"Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 1/3 га, 10 га и 24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй - 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?"


Решение

Введем вспомогательное неизвестное у, означающее, какая доля первоначального запаса травы прирастает на 1 га в течение недели. На первом лугу в течение недели прирастает травы 3 1/3y, а в течение 4 недель 3 1/3y × 4 = 40/3y того запаса, который первоначально имелся на 1 га. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась и сделалась равной
(3 1/3 + 40/3y) га. Другими словами, быки съели столько травы, сколько покрывает луг площадью в 3 1/3 + 40/3y гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю 1/48 часть, т. е. запас, имеющийся на площади:
(3 1/3 + 40y/3): 48 = (10 + 40y)/144
га.

Подобным же образом находим площадь луга, кормящего одного быка в течение недели, из данных для второго луга:
недельный прирост на  1 га =   у,
9-недельный прирост на  1 га =  9y,
9-недельный прирост на 10 га = 90у.


Площадь участка, содержащего запас травы для прокормления 21 быка в течение 9 недель, равна
 10 + 90y.
Площадь, достаточная для прокормления 1 быка в течение недели, -
(10 + 90у)/9 × 21 = (10 + 90у)/189
гектаров. Обе нормы прокормления должны быть одинаковы:
 (10 + 40у)/144 = (10 + 90у)/189.
Решив это уравнение, находим y = 1/12.

Определим теперь площадь луга, наличный запас травы которого достаточен для прокормления одного быка в течение недели:
(10 + 40у)/144 = (10 + 40 × 1/12)/144 = 5/54  гектаров.

Наконец, приступаем к вопросу задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем:
(24 + 24 × 18 × 1/12)/18x = 5/54, откуда x = 36.

Третий луг может прокормить в течение 18 недель 36 быков.

 
Copyright 2016. All rights reserved.
Назад к содержимому | Назад к главному меню