Циклоида - математика и искусство

ЦИКЛОИДА
x=a(t-sint)  y=a(1-cost)

Циклоида (от греческого слова kykloeides- «кругообразный») - плоская кривая. Первые исследования циклоиды проводил в XVI в. итальянский физик и астроном Г. Галилей. Позднее этой же замечательной кривой  занимались другие блестящие умы: французский физик и математик Б. Паскаль, нидерландский механик, физик и математик XVII в. X.  Гюйгенс, французский философ и математик Р. Декарт.

Циклоида -кривая, которую описывает  точка Р окружности, катящейся без скольжения по некоторой прямой в той же плоскости (рис. 1). Эту окружность называют  порождающей. Описывающая циклоиду точка  совершает сложное движение: с одной стороны, она, как и все другие точки катящейся  окружности, имеет составляющую скорости в  направлении качения окружности, с  другой - составляющую по касательной к окружности, поскольку, как и все другие точки  окружности, равномерно вращается вокруг ее центра.

Величины обеих скоростей равны, поэтому  результирующий вектор скорости v находится как диагональ ромба MNRP. Нетрудно  показать, что перпендикуляр к результирующему вектору, проходящий через точку Р,  пересекает порождающую окружность в точке Т ее касания с прямой, по которой она катится,  сама же касательная, на которой находится  результирующий вектор, проходит через точку S порождающей окружности, диаметрально противоположную точке Т.

У циклоиды масса любопытнейших свойств. Оказывается, например, что  циклоида является кривой наибыстрейшего спуска. Иначе говоря, скатываясь по снежной горке, профиль которой выполнен в виде циклоиды, мы окажемся у основания горки быстрее, чем в случае другой формы горки. Кроме того, циклоида является такой кривой, по которой должна двигаться тяжелая материальная  точка, чтобы период ее колебаний не зависел от амплитуды колебаний. Используя это  свойство, X: Гюйгенс сконструировал часы, изображенные на рис. 2. Любопытно, что траектория конца маятника, как и ограничивающие его боковые «щеки», представляет из себя циклоиду .

/Энц. словарь юного математика/

x(t)=t-sin(t),  y(t)=1-cos(t),   R=1

Циклоида - частный случай трохоиды- линии, которую вычерчивает точка, жестко связанная с окружностью, катящейся без проскальзывания по прямой, т.е. точка, лежащая на некотором радиусе или его продолжении.