Геометрия - математика и искусство

Перейти к контенту

Главное меню:

Геометрия

Геометрия

Аксиомы облаадют наивысшнй степенью общности и представляют начала всего.
/Аристотель/

Традиционно считается, что родоначальниками геометрии как систематической науки являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в строгую научную дисциплину. При этом античные геометры от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей, составили первые систематические и доказательные труды по геометрии. Центральное место среди них занимают составленные около 300 до н. э. «Начала» Евклида. Этот труд более двух тысячелетий считался образцовым изложением в духе аксиоматического метода: все положения выводятся логическим путём из небольшого числа явно указанных и не доказываемых предположений — аксиом.

Геометрия греков, называемая сегодня
евклидовой, или элементарной, занималась изучением простейших форм: прямых, плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников, конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов. Вычислялись их площади и объёмы. Преобразования в основном ограничивались подобием.

Средние века немного дали геометрии, и следующим великим событием в её истории стало открытие Декартом в XVII веке координатного метода («Рассуждение о методе», 1637).  Так появилась аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаются алгебраическими уравнениями. Примерно одновременно с этим Паскалем и Дезаргом начато исследование свойств плоских фигур, не меняющихся при проектировании с одной плоскости на другую. Этот раздел получил название
проективной геометрии. Метод координат лежит в основе появившейся несколько позже дифференциальной геометрии, где фигуры и преобразования все ещё задаются в координатах, но уже произвольными достаточно гладкими функциями.



Геометрия  одна из наиболее древних математических наук. Первые геометрические тексты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (III челетие до н.э.).

Возникновение геометрических знаний связано с практической деятельностью людей, отразилось и в названиях многих геометри ческих фигур.
Еще в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом. Она непрерывно развивалась, обогащалась новыми теоремами, идеями, методами. Интересы геометров и направления их научных исследований порою менялись в процессе исторического развития этой науки, поэтому нелегко дать точное и исчерпывающее определение, что такое геометрия сегодня, каков ее предмет, содержание и методы.


…в наше время возникли и оформились новые важные разделы геометрии. Каждый из этих разделов имеет свою специфику… Крупный советский геометр академик
А. Д. Александров, которому принадлежат работы не только по геометрии, но и в области философии математики, расширил рамки энгельсовского определения, сказав, что геометрия изучает пространственные и пространственно-подобные формы и отношения реального мира.

В III в. до н. э. древнегреческий ученый Евклид написал книгу под названием «Начала»
. В этой книге Евклид подытожил накопленные к тому времени геометрические знания и попытался дать законченное аксиоматическое изложение этой науки. Написана она была настолько хорошо, что в течение 2000 лет всюду преподавание геометрии велось либо по переводам, либо по незначительным переработкам книги Евклида.
Продуманное и глубоко логическое изложение геометрии, данное в книге Евклида, привело к тому, что математики не мыслили возможности существования геометрии, отличной от евклидовой. Лишь в XIX в. благодаря в первую очередь трудам выдающегося русского математика Н. И. Лобачевского было установлено, что евклидова геометрия не является единственно возможной. Вслед за тем математики создали и исследовали многие различные «геометрии». Особенно большая заслуга в расширении наших представлений о возможных геометрических пространствах принадлежит немецкому математику XIX в.
Г. Ф. Б. Риману.

Интересно проследить связь геометрических идей с современной физикой. Часто идеи, обогащающие математику новыми понятиями и методами, приходят из физики, химии и других разделов естествознания. Типичным примером может служить понятие вектора пришедшее в математику из механики, в отношении неевклидовых геометрий обстоит как раз наоборот: созданные внутри математики эти новые геометрические понятия положили пути создания современной физики.


Нечто похожее произошло и с другим делом современной геометрии  так называемым выпуклым анализом. Начала теории выпуклых фигур были заложены в XIX в. немецким математиком Г. Минковским. Не сколько красивых теорем, полученных привлекли внимание математиков к ново теории. …прошли десятилетия, и совершенно неожиданно теоремы о выпуклых множествах нашли различные применения : сначала в самой математике (при решении геометрических экстремальных задач), а затем в математической экономике, теории управления и других прикладных областях.

В современной геометрии есть и много других направлений. Одни сближают ее с теорией чисел, другие с квантовой физикой, третьи с математическим анализом.


Много нового
появилось со времен Евклида и в самой евклидовой геометрии. Еще в XVII в. благодаря работам французского математика и философа Р. Декарта возник метод координат, ознаменовавший собой революционную перестройку всей математики, и в частности геометрии. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения (или неравенства) в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул, систем уравнений. Так в рамках евклидовой геометрии появилась ее новая ветвь - аналитическая геометрия, явившаяся мощным средством исследования геометрических образов. Например, метод координат позволяет быстро и с помощью несложных вычислений вывести основные свойства линий второго порядка (эллипса, гиперболы, параболы). Теоремы об этих линиях, найденные древнегреческим ученым Аполлонием и некогда считавшиеся вершиной геометрии, сейчас с помощью методов аналитической геометрии изучаются в вузах и техникумах.

В работах математиков XIX в. У. Гамильтона, Г. Грассмана и других были введены векторы, которые ранее в трудах Архимеда, Г. Галилея и других
имели лишь механический смысл, а теперь приобрели права в математике. С 60х гг. нашего столетия векторы заняли прочное место и в школьном курсе геометрии. Применяемые в рамках евклидовой геометрии векторные методы значительно упрощают доказательства многих теорем и решение задач.

Другим важным обогащением, которым геометрия также обязана XIX в., стало создание теории геометрических преобразований, и в частности движений (перемещений). У Евклида движения неявно присутствовали; например, когда он говорил: «Наложим один треугольник на другой таким
-то образом», то речь шла в действительности о применении движения, перемещения треугольника. Но для Евклида движение не было математическим понятием: Создание математической теории движений и осознание их важной роли в геометрии связано с именем немецкого математика Ф. Клейна.

Таким образом, группа движений задает, определяет евклидову геометрию.


Групповая точка зрения на геометрию позволила с единых позиций рассмотреть многие личные геометрии: евклидову, геометрию Лобачевского, аффинную, проективную геометрию и др.
Применение движений сближает математику с идеями физики, химии, биологии, техники, соответствует прогрессивным чертам математического осмысления мира.

/Энц. словарь юного математика, 1989/


Пифагорова тройка

Пифагорова тройка из трёх натуральных чисел (x,y,z)удовлетворяет соотношению Пифагора: x²+y²=z². При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами.Треугольник, длины сторон которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3,4,5:  3²+4²=5².

Некоторые пифагоровы тройки :  (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34),(21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50), …Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

Неевклидова геометрия

В геометрии Евклида имеется аксиома о параллельных, утверждающая: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более чем одну прямую, параллельную данной. Многие геометры пытались доказать эту аксиому, исходя из других основных посылок геометрии Евклида, но безуспешно. Лобачевский пришёл к мысли, что такое доказательство невозможно. Утверждение, противоположное аксиоме Евклида, гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две параллельные ей прямые. Это и есть аксиома Лобачевского. По мысли Лобачевского, присоединение этого положения к другим основным положениям геометрии приводит к логически безупречным выводам. Система этих выводов и образует новую, неевклидову геометрию.

Заслуга Лобачевского состоит в том, что он не только высказал эту идею, но действительно построил и всесторонне развил новую
геометрию, логически столь же совершенную и богатую выводами, как евклидова, несмотря на её несоответствие обычным наглядным представлениям.

В его идеях были намечены три принципа, определившие новое развитие
геометрии. Первый принцип заключается в том, что логически мыслима не одна евклидова геометрия, но и другие геометрии. Второй принцип - это принцип самого построения новых геом. теорий путём видоизменения и обобщения основных положений евклидовой геометрии. Третий принцип состоит в том, что истинность геом. теории, в смысле соответствия реальным свойствам пространства, может быть проверена лишь физическим исследованием.

Так складывались проективная, аффинная, конформная геометрии и др., предметом которых служат свойства фигур, сохраняющиеся при соответствующих (проективных, аффинных, конформных и др.) преобразованиях. Возникло понятие проективного, аффинного и конформного пространств; сама евклидова геометрия стала рассматриваться в известном смысле как глава проективной геометрии. Другие теории, подобно геометрии Лобачевского, с самого начала строились на основе изменения и обобщения понятий евклидовой геометрии. Так, создавалась, например многомерная геометрия.

Так
геометрия превратилась в разветвлённую и быстро развивающуюся в разных направлениях совокупность матем. теорий, изучающих разные пространства (евклидово, Лобачевского, проективное, римановы и т. д.) и фигуры в этих пространствах.


 
Copyright 2016. All rights reserved.
Назад к содержимому | Назад к главному меню